Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，連接CD，點O是CD的中點，到點O的距離等于OC的所有點組成圖形M，圖形M分別交AC，BC于點E，F兩點，過點F作FG⊥AB于點G．

（1）試判斷FG與圖形M的位置關系，并說明理由；

（2）若AC＝3，∠B＝30°，求FG的長．

Answer 1

【答案】（1）FG與⊙O相切，理由詳見解析；（2）FG＝．

【解析】

（1）如圖，連接OF，根據直角三角形的性質得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根據等腰三角形的性質得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到結論；

（2）連接DF，解直角三角形即可得到結論．

（1）FG與⊙O相切，

理由：根據圓的定義知：到點O的距離等于OC的所有點組成圖形M，圖形M就是⊙O，

如圖，連接OF，

∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，

∴CD＝BD，

∴∠DBC＝∠DCB，

∵OF＝OC，

∴∠OFC＝∠OCF，

∴∠OFC＝∠DBC，

∴OF∥DB，

∴∠OFG+∠DGF＝180°，

∵FG⊥AB，

∴∠DGF＝90°，

∴∠OFG＝90°，

∴FG與⊙O相切；

（2）連接DF，

∵∠ACB＝90°，AC＝3，∠B＝30°，

∴AB＝2AC＝6，

∴BC＝AB＝3，

∵CD為⊙O的直徑，

∴∠DFC＝90°，

∴FD⊥BC，

∵DB＝DC，

∴BF＝BC＝，

∵sin∠ABC，

即，

∴FG＝．