Question

某課題研究小組就圖形面積問題進行專題研究，他們發現如下結論：
（1）有一條邊對應相等的兩個三角形面積之比等于這條邊上的對應高之比；
（2）有一個角對應相等的兩個三角形面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比；
…
現請你繼續對下面問題進行探究，探究過程可直接應用上述結論．（S表示面積）

問題1：如圖1，現有一塊三角形紙板ABC，P₁，P₂三等分邊AB，R₁，R₂三等分邊AC．經探究知S四邊形P1P2R2R1=

1

3

S_△ABC，請證明．
問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q₁，Q₂三等分邊DC．請探究S四邊形P1Q1Q2P2與S_{四邊形ABCD}之間的數量關系．
問題3：如圖3，P₁，P₂，P₃，P₄五等分邊AB，Q₁，Q₂，Q₃，Q₄五等分邊DC．若S_{四邊形ABCD}=1，求S四邊形P2Q2Q3P3．
問題4：如圖4，P₁，P₂，P₃四等分邊AB，Q₁，Q₂，Q₃四等分邊DC，P₁Q₁，P₂Q₂，P₃Q₃將四邊形ABCD分成四個部分，面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄．請直接寫出含有S₁，S₂，S₃，S₄的一個等式．

Answer 1

分析：問題1，圖1中，連接P₁R₂，R₂B，由三角形中線的性質得S_△AP1R1=S_△P1R1R2，S_△P1R2P2=S_△P2R2B，再由R₁，R₂為AC的三等分點，得S_△BCR2=

1

2

S_△ABR2，根據圖形的面積關系，得S_△ABC與S_{四邊形P1P2R2R1}的數量關系，證明結論；
問題2，圖2中，連接AQ₁，Q₁P₂，P₂C，由三角形的中線性質，得S_△AQ1P1=S_△P1Q1P2，S_△P2Q1Q2=S_△P2Q2C，由Q₁，P₂為CD，AB的三等分點可知，S_△ADQ1=

1

2

S_△AQ1C，S_△BCP2=

1

2

S_△AP2C，得出S_△ADQ1+S_△BCP2與S_{四邊形AQ1CP2}的關系，再根據圖形的面積關系，得S_{四邊形ABCD}與S_{四邊形P1Q1Q2P2}的等量關系；
問題3，圖3中，依次設四邊形的面積為S₁，S₂，S₃，S₄，S₅，由問題2的結論可推出2S₂=S₁+S₃，2S₃=S₂+S₄，2S₄=S₃+S₅，三式相加，得S₂+S₄=S₁+S₅，利用換元法求S₁+S₂+S₃+S₄+S₅與S₃的數量關系，已知S_{四邊形ABCD}=1，可求S_{四邊形P2Q2Q3P3}；
問題4，圖4中，由問題2的結論可知，2S₂=S₁+S₃，2S₃=S₂+S₄，兩式相加得S₁，S₂，S₃，S₄的等量關系．

解答：解：問題1，證明：
如圖1，連接P₁R₂，R₂B，在△AP₁R₂中，∵P₁R₁為中線，∴S_△AP1R1=S_△P1R1R2，
同理S_△P1R2P2=S_△P2R2B，
∴S_△P1R1R2+S_△P1R2P2=

1

2

S_△ABR2=S_{四邊形P1P2R2R1}，
由R₁，R₂為AC的三等分點可知，S_△BCR2=

1

2

S_△ABR2，
∴S_△ABC=S_△BCR2+S_△ABR2=S_{四邊形P1P2R2R1}+2S_{四邊形P1P2R2R1}=3S_{四邊形P1P2R2R1}，
∴S_{四邊形P1P2R2R1}=

1

3

S_△ABC；
問題2，S_{四邊形ABCD}=3S_{四邊形P1Q1Q2P2}．
理由：如圖2，連接AQ₁，Q₁P₂，P₂C，在△AQ₁P₂中，∵Q₁P₁為中線，
∴S_△AQ1P1=S_△P1Q1P2，同理S_△P2Q1Q2=S_△P2Q2C，
∴S_△P1Q1P2+S_△P2Q1Q2=

1

2

S_{四邊形AQ1CP2}=S_{四邊形P1Q1Q2P2}，
由Q₁，P₂為CD，AB的三等分點可知，S_△ADQ1=

1

2

S_△AQ1C，S_△BCP2=

1

2

S_△AP2C，
∴S_△ADQ1+S_△BCP2=

1

2

（S_△AQ1C+S_△AP2C）=

1

2

S_{四邊形AQ1CP2}，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ADC+S_△ABC=S_{四邊形AQ1CP2}+S_△ADQ1+S_△BCP2=3S_{四邊形P1Q1Q2P2}，
即S_{四邊形ABCD}=3S_{四邊形P1Q1Q2P2}；
問題3，解：
如圖3，由問題2的結論可知，3S₂=S₁+S₂+S₃，即2S₂=S₁+S₃，同理得2S₃=S₂+S₄，2S₄=S₃+S₅，
三式相加得，S₂+S₄=S₁+S₅，
∴S₁+S₂+S₃+S₄+S₅=2（S₂+S₄）+S₃=2×2S₃+S₃=5S₃，


即S_{四邊形P2Q2Q3P3}=

1

5

S_{四邊形ABCD}=

1

5

；
問題4，如圖4，關系式為：S₂+S₃=S₁+S₄．

點評：本題考查了三角形面積問題．關鍵是利用三角形的中線把三角形分為面積相等的兩個三角形的性質進行推理．