Question

某課題研究小組就圖形面積問題進行專題研究，他們發現如下結論：

（1）有一條邊對應相等的兩個三角形面積之比等于這條邊上的對應高之比；

（2）有一個角對應相等的兩個三角形面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比；

…

現請你繼續對下面問題進行探究，探究過程可直接應用上述結論．（S表示面積）

  問題1：如圖1，現有一塊三角形紙板ABC，P₁，P₂三等分邊AB，R₁，R₂三等分邊AC．

經探究知＝S_△ABC，請證明．

  

    問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q₁，Q₂三等分邊DC．請探究與S_{四邊形ABCD}之間的數量關系．

    問題3：如圖3，P₁，P₂，P₃，P₄五等分邊AB，Q₁，Q₂，Q₃，Q₄五等分邊DC．若

S_{四邊形ABCD}＝1，求．

 問題4：如圖4，P₁，P₂，P₃四等分邊AB，Q₁，Q₂，Q₃四等分邊DC，P₁Q₁，P₂Q₂，P₃Q₃

將四邊形ABCD分成四個部分，面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄．請直接寫出含有S₁，S₂，S₃，S₄的一個等式．

Answer 1

解：問題1：∵P₁，P₂三等分邊AB，R₁，R₂三等分邊AC，

      ∴P₁R₁∥P₂R₂∥BC．∴△AP₁ R₁∽△AP₂R₂∽△ABC，且面積比為1:4:9…………..2分

     ∴＝S_△ABC＝S_△ABC                                                  ……………..1分

問題2：連接Q₁R₁，Q₂R₂，如圖，由問題1的結論，可知

     ∴＝S_△ABC ，＝S_△ACD

     ∴＋＝S_{四邊形ABCD}        ……………..2分

     由∵P₁，P₂三等分邊AB，R₁，R₂三等分邊AC，Q₁，Q₂三等分邊DC，

     可得P₁R₁:P₂R₂＝Q₂R₂:Q₁R₁＝1:2，且P₁R₁∥P₂R₂，Q₂R₂∥Q₁R₁．

     ∴∠P₁R₁A＝∠P₂R₂A，∠Q₁R₁A＝∠Q₂R₂A．∴∠P₁R₁Q₁＝∠P₂R₂ Q₂．

      由結論（2），可知＝．

      ∴＝＋＝S_{四邊形ABCD}．…………..2分

   問題3：設＝A，＝B，設＝C，

         由問題2的結論，可知A＝，B＝．……..1分

  A＋B＝(S_{四邊形ABCD}＋C)＝(1＋C)．

   又∵C＝(A＋B＋C)，即C＝[(1＋C)＋C]．

    整理得C＝，即＝       ……………..2分

    問題4：S₁＋S₄＝S₂＋S₃．                      ………………….2分