Question

如圖，D是△ABC中AB邊的中點，△BCE和△ACF都是等邊三角形，M、N分別是CE、CF的中點．
（1）求證：△DMN是等邊三角形；
（2）連接EF，Q是EF中點，CP⊥EF于點P．求證：DP=DQ．
同學們，如果你覺得解決本題有困難，可以閱讀下面兩位同學的解題思路作為參考：
小聰同學發現此題條件中有較多的中點，因此考慮構造三角形的中位線，添加出了一些輔助線；小慧同學想到要證明線段相等，可通過證明三角形全等，如何構造出相應的三角形呢？她考慮將△NCM繞頂點旋轉到要證的對應線段的位置，由此猜想到了所需構造的三角形的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AC的中點G，連接NG，DG，再由D為AB的中點，得到DG為三角形ABC的中位線，利用三角形中位線定理得到DG平行于BC，且等于BC的一半，再由NC為三角形AFC的中位線，得到NG與AF平行，由三角形ACF為等邊三角形，得到三角形NCG為等邊三角形，可得出NG=NC，由M為等邊三角形BEC邊EC的中點，得到DG=CM，由DG與BC平行，利用兩直線平行同旁內角互補，得到∠DGC+∠GCB=180°，進而得到∠NGD+∠GCB=240°，而∠GCB+∠NCM=240°，可得出∠NGD=∠NCM，利用SAS得到△NGD≌△NCM，可得出ND=DM，再由∠GNC=∠GND+∠CND=∠MNC+∠CND=60°，得到∠MND=60°，即可得到三角形MND為等邊三角形；
（2）由NQ為三角形ECF的中位線，得到NQ等于EC的一半，再由PC垂直于PE，M為CE斜邊上的中點，得到PM為CE的一半，可得出NQ=PM，由PM=ME，利用等邊對等角，得到一對角相等，由MN為三角形ECF的中位線，得到MN與EF平行，利用兩直線平行得到內錯角相等，等量代換得到∠PMN=∠QNM，利用等式的性質得到∠QND=∠PMD，利用SAS得到△QND≌△PMD，利用全等三角形的對應邊相等即可得到DP=DQ．
解答：證明：（1）取AC的中點G，連接NG、DG，
∵D為AB的中點，即DG為△ABC的中位線，
∴DG=BC，DG∥BC，
∵N為FC的中點，即NG為△AFC的中位線，
∴NG∥AF，又△ACF為等邊三角形，
∴∠CNG=∠F=∠CGN=∠CAF=60°，
∴△NGC是等邊三角形，
∴NG=NC，
∵M為等邊三角形BEC邊EC的中點，
∴DG=CM=EC=BC，
∵∠DGC+∠GCB=180°，
∴∠NGD+∠GCB=240°，
∵∠GCB+∠NCM=240°，
∴∠NGD=∠NCM，
在△NGD和△NCM中，
，
∴△NGD≌△NCM（SAS），
∴ND=NM，∠GND=∠CNM，
∴∠GNC=∠GND+∠CND=∠MNC+∠CND=60°，
∴∠DNM=60°，
∴△DMN是等邊三角形；

（2）連接QN、PM，
∵QN為△FCE的中位線，PM為直角三角形PCE斜邊上的中線，
∴QN=CE=PM，
∵Rt△CPE中，PM=EM，
∴∠MEP=∠MPE，
∵MN∥EF，
∴∠MPE=∠PMN，∠FQN=∠QNM，
∵NQ∥CE，
∴∠FQN=∠MEP，
∴∠PMN=∠QNM，又∠NMD=∠MND=60°，
∴∠PMN+∠NMD=∠QNM+∠MND，即∠QND=∠PMD，
在△QND和△PMD中，
，
∴△QND≌△PMD（SAS），
∴DQ=DP．
點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，以及三角形的中位線定理，熟練掌握判定與性質，靈活運用中位線定理是解本題的關鍵．