Question

【題目】已知拋物線y=﹣x2﹣2x+3交x軸于點A、C（點A在點C左側），交y軸于點B．

（1）求A，B，C三點坐標；

（2）如圖1，點D為AC中點，點E在線段BD上，且BE=2DE，連接CE并延長交拋物線于點M，求點M坐標；

（3）如圖2，將直線AB繞點A按逆時針方向旋轉15°后交y軸于點G，連接CG，點P為△ACG內一點，連接PA、PC、PG，分別以AP、AG為邊，在它們的左側作等邊△APR和等邊△AGQ，求PA+PC+PG的最小值，并求當PA+PC+PG取得最小值時點P的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），C（1，0），B（0，3）；（2）M（﹣，）；（3）2,P（﹣，）．

【解析】

（1）拋物線中，令，可得A，C坐標；當x=0時，可得B的坐標；

（2）首先利用A、C坐標，求出D的坐標，根據BE=2ED，求出點E坐標，求出直線CE，利用方程組求交點坐標M即可；

（3）先證明△QAR≌△GAP即可得出QR=PG，進而得到PA+PC+PG=PR+PC+QR，可得當Q，R，P，C共線時，PA+PC+PG的值最小，即為線段QC的長，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，利用勾股定理求得QC的長，再求出AM，CM，利用等邊三角形性質求出AP、PM、PC，由此即可解決問題．

解：（1）拋物線y=﹣x2﹣2x+3中，令y=﹣x2﹣2x+3=0，可得x1=1，x2=﹣3，

∴A（﹣3，0），C（1，0），

當x=0時，y=3，

∴B（0，3）；

（2）∵點D為AC中點，A（﹣3，0），C（1，0），

∴D（﹣1，0），

∵BE=2DE，B（0，3），

∴E（﹣，1），

設直線CE為y=kx+b，把C（1，0），E（﹣，1）代入，可得

，解得，

∴直線CE為y=﹣x+，

解方程組，可得或，

∵M在第二象限，

∴M（﹣，）；

（3）∵△APR和△AGQ是等邊三角形，

∴AP=AR=PR，AQ=AG，∠QAG=∠RAP=60°，

∴∠QAR=∠GAP，

在△QAR和△GAP中，

，

∴△QAR≌△GAP（SAS），

∴QR=PG，

∴PA+PC+PG=PR+PC+QR，

∴當Q，R，P，C共線時，PA+PC+PG的值最小，即為線段QC的長，

如圖3，作QN⊥OA于N，作AM⊥CQ于M，作PK⊥CN于K，

依題意得∠GAO=45°+15°=60°，AO=3，

∴AG=GQ=QA=6，∠AGO=30°，OG=3，

∵∠AGQ=60°，

∴∠QGO=90°，

∴Q（﹣6，3），

在Rt△QNC中，QN=3，CN=6+1=7，

∴QC==2，即PA+PC+PG的最小值為2，

∴sin∠ACM== ，

∴AM== ，

∵△APR是等邊三角形，

∴∠APM=60°，PM=AM，MC== ，

∴PC=CM﹣PM=，

∵sin∠PCN== ，cos∠PCN== ，

∴PK=，CK=，

∴OK=，

∴P（﹣，）．