Question

【題目】（10分）如圖，△ABC中，以AC為直徑的⊙O與邊AB交于點D，點E為⊙O上一點，連接CE并延長交AB于點F，連接ED．

（1）若∠B+∠FED=90°，求證：BC是⊙O的切線；

（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）⊙O的直徑為9．

【解析】

試題分析： （1）由圓內接四邊形對角互補可得∠A+∠DEC=180°，由鄰補角的定義可得∠FED+∠DEC=180°，所以∠FED=∠A，又因∠B+∠FED=90°，即可得∠B+∠A=90°，所以∠BCA=90°，即BC是⊙O的切線；（2）由∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，即可得△FED∽△FAC，根據相似三角形的性質可得，帶入數值即可求出AC的長．

試題解析：（1）證明：∵∠A+∠DEC=180°，∠FED+∠DEC=180°，

∴∠FED=∠A，

∵∠B+∠FED=90°，

∴∠B+∠A=90°，

∴∠BCA=90°，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：∵∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，

∴△FED∽△FAC，

∴，

∴，

解得：AC=9，即⊙O的直徑為9．