Question

【題目】在中，，過點作直線，將繞點C順時針旋轉得到（點的對應點分別是），射線分別交直線于點．

（1）問題發現：如圖1所示，若與重合，則的度數為_________________

（2）類比探究：如圖2，所示，設與的交點為M，當M為中點時，求線段的長；

（3）拓展延伸：在旋轉過程中，當點分別在的延長線上時，試探究四邊形的面積是否存在最小值，若存在，直接寫出四邊形的最小面積；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）由旋轉可得：AC=A'C=2，進而得到BC=，依據∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；

（2）根據M為A'B'的中點，即可得出∠A=∠A'CM，進而得到PB= ，依據tan∠BQC=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進而得出PQ=PB+BQ=；

（3）依據S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用幾何法或代數法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．

解（1）由旋轉得：，

，

， ，

，

，

；

(2)因為M是中點，所以，

，

，

，

．

∵∠PCQ=∠PBC=90°，

∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°，

∴∠BQC=∠BCP=∠A，

，

，

；

(3) ，

最小，即最小，

，

取PQ的中點G，

，即PQ=2CG，

當最小時， 最小，

， 與重合，最小，

∵的最小值為，．