Question

（2006•臨汾）如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別相交于點B，點C，經過B，C兩點的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸是直線x=2．
（1）求A點的坐標；
（2）求該拋物線的函數表達式；
（3）連接AC．請問在x軸上是否存在點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數的對稱性，已知對稱軸的解析式以及B點的坐標，即可求出A的坐標
（2）已知了拋物線過A、B、C三點，而且三點的坐標都已得出，可用待定系數法來求函數的解析式．
（3）本題要先根據拋物線的解析式求出頂點P的坐標，然后求出BP的長，進而分情況進行討論：
①當∠PQB=∠CAB，即BQ：AB=PB：BC時，根據A、B的坐標可求出AB的長，根據B、C的坐標可求出BC的長，已經求出了PB的長度，那么可根據比例關系式得出BQ的長，即可得出Q的坐標．
②當∠QPB=∠CAB，即BQ：BC=BP：AB，可參照①的方法求出Q的坐標．
③當∠QBP=∠CAB，根據P點和A點的坐標即可得出∠CAO與∠QBP是不相等的，因此∠CAB與∠QBP也不會相等，因此此種情況是不成立的．
綜上所述即可得出符合條件的Q的坐標．
解答：解：（1）∵直線y=-x+3與x軸相交于點B，
∴當y=0時，x=3，
∴點B的坐標為（3，0）．
又∵拋物線過x軸上的A，B兩點，且對稱軸為x=2，
根據拋物線的對稱性，
∴點A的坐標為（1，0）．

（2）∵y=-x+3過點C，易知C（0，3），
∴c=3．
又∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（1，0），B（3，0），
∴
解，得
∴y=x²-4x+3．

（3）連接PB，由y=x²-4x+3=（x-2）²-1，得P（2，-1），
設拋物線的對稱軸交x軸于點M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=．
由點B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3．
假設在x軸上存在點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．
①當，∠PBQ=∠ABC=45°時，△PBQ∽△ABC．
即，
∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴點Q與點O重合，
∴Q₁的坐標是（0，0）．
②當，∠QBP=∠ABC=45°時，△QBP∽△ABC．
即，
∴QB=．
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-，
∴Q₂的坐標是（，0）．
∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴點Q不可能在B點右側的x軸上
綜上所述，在x軸上存在兩點Q₁（0，0），Q₂（，0），
能使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．
點評：本小題主要考查待定系數法、方程、函數及三角形相似等知識，考查綜合運用數學知識、分析問題、解決問題的能力，考查數形結合、分類討論的思想．
此題是一道以函數為背景的綜合壓軸題，第1、2兩個小題較為容易，上手很輕松，第3小題中很容易看出要討論相似三角形的對應頂角，想提醒大家的是在中考中應該對可能的情況進行逐一討論，才能盡量防止漏解，如本題中的第3種情況實際上不成立，但最好也討論一下，有時不成立的情況也會是一個得分點，這樣在考場上浪費不了多少時間，卻能避免失分的風險．