Question

（2012•河池）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標系，拋物線y=-

1

2

x²+

7

2

x+4經過A、B兩點．
（1）寫出點A、點B的坐標；
（2）若一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移，分別交線段OA、CA和拋物線于點E、M和點P，連接PA、PB．設直線l移動的時間為t（0＜t＜4）秒，求四邊形PBCA的面積S（面積單位）與t（秒）的函數關系式，并求出四邊形PBCA的最大面積；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點P，使得△PAM是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0，能確定點B的坐標；令y=0，能確定點A的坐標．
（2）四邊形PBCA可看作△ABC、△PBA兩部分；△ABC的面積是定值，關鍵是求出△PBA的面積表達式；若設直線l與直線AB的交點為Q，先用t表示出線段PQ的長，而△PAB的面積可由（

1

2

PQ•OA）求得，在求出S、t的函數關系式后，由函數的性質可求得S的最大值．
（3）△PAM中，∠APM是銳角，而PM∥y軸，∠AMP=∠ACO也不可能是直角，所以只有∠PAC是直角一種可能，即 直線AP、直線AC垂直，此時兩直線的斜率乘積為-1，先求出直線AC的解析式，聯立拋物線的解析式后可求得點P的坐標．

解答：解：（1）拋物線y=-

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2

x²+

7

2

x+4中：
令x=0，y=4，則 B（0，4）；
令y=0，0=-

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2

x²+

7

2

x+4，解得 x₁=-1、x₂=8，則 A（8，0）；
∴A（8，0）、B（0，4）．

（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，則OB=OC=4，∴C（0，-4）．
由A（8，0）、B（0，4），得：直線AB：y=-

1

2

x+4；
依題意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；
∴P（2t，-2t²+7t+4）、Q（2t，-t+4），PQ=（-2t²+7t+4）-（-t+4）=-2t²+8t；
S=S_△ABC+S_△PAB=

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2

×8×8+

1

2

×（-2t²+8t）×8=-8t²+32t+32=-8（t-2）²+64；
∴當t=2時，S有最大值，且最大值為64．

（3）∵PM∥y軸，∴∠AMP=∠ACO＜90°；
而∠APM是銳角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；
由A（8，0）、C（0，-4），得：直線AC：y=

1

2

x-4；
所以，直線AP可設為：y=-2x+h，代入A（8，0），得：
-16+h=0，h=16
∴直線AP：y=-2x+16，聯立拋物線的解析式，得：

y=- 1 2 x2+ 7 2 x+4 y=-2x+16

，解得

x1=8 y1=0

、

x2=3 y2=10

∴存在符合條件的點P，且坐標為（3，10）．

點評：此題主要考查的是函數圖象與坐標軸的交點坐標的求法、圖形面積的解法以及直角三角形的判定；最后一題中，先將不可能的情況排除掉可大大的簡化解答過程．