Question

已知直線y1=-

3

3

x+

3

與x、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y2=-

3

3

x2+bx+c過A、B兩點，
①求拋物線的解析式；
②在拋物線上是否存在一點P（除點A外），使點P關于直線y1=-

3

3

x+

3

的對稱點Q恰好在x軸上？若不存在，請說明理由；若存在，求出點P的坐標，并求得此時四邊形APBQ的面積．

Answer 1

分析：（1）直線y₁與x、y軸分別交于A、B兩點，求得A與B的坐標，然后由待定系數法即可求得拋物線的解析式；
（2）首先過點P作PH⊥OA于H，由OB=

3

，OA=3，根據tan∠BAO=

OB

OA

，即可求得∠BAO=30°，又由PQ關于AB對稱，∠OAB=60°，然后設P的坐標為（x，-

3

3

x²+

2

3

3

x+

3

），即可求得點P的坐標，繼而求得此時四邊形APBQ的面積．

解答：解：①∵直線y₁與x、y軸分別交于A、B兩點，
∴當x=0時，y=

3

，
當y=0時，x=3，
∴A（3，0），B（0，

3

），
∵拋物線y₂過A、B兩點，
∴

- 3 3 ×9+3b+c=0 c= 3

，
解得：

b= 2 3 3 c= 3

，
∴拋物線的解析式為：y=-

3

3

x²+

2

3

3

x+

3

=-

3

3

（x-1）²+

4

3

3

；

（2）如圖，過點P作PH⊥OA于H，
∵OB=

3

，OA=3，
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

3

3

，
∴∠BAO=30°，
∵PQ關于AB對稱，
∴∠OAP=60°，
設P的坐標為（x，-

3

3

x²+

2

3

3

x+

3

），
∴OH=x，AH=3-x，
∴tan∠OAP=tan60°=

PH

AH

=

- 3 3 x2+ 2 3 3  x+ 3

3-x

=

3

，
解得：x=2或x=3（舍去），
∴點P（2，

3

），
∴AP=2，
∴PQ=2，
∵AB=2

3

，
∴S_{四邊形APBQ}=

1

2

PQ•AB=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
∴存在，點P的坐標為（2，

3

），此時四邊形APBQ的面積為2

3

．

點評：此題考查了二次函數的綜合應用．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．