Question

【題目】在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧 沿弦AC翻折交AB于點D，連結CD．
（1）如圖1，若點D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r；
（2）如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC=25°，請直接寫出∠DCA的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，過點O作OE⊥AC于E，

則AE= AC= ×2=1，

∵翻折后點D與圓心O重合，

∴OE= r，

在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，

即r2=12+（ r）2，

解得r=

（2）解：連接BC，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=25°，

∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，

根據翻折的性質， 所對的圓周角為∠B， 所對的圓周角為∠ADC，

∴∠ADC+∠B=180°，

∴∠B=∠CDB=65°，

∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=65°﹣25°=40°．

【解析】（1）過點O作OE⊥AC于E，根據垂徑定理可得AE= AC，再根據翻折的性質可得OE= r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式計算即可得解；（2）連接BC，根據直徑所對的圓周角是直角求出∠ACB，根據直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據翻折的性質得到 所對的圓周角，然后根據∠ACD等于 所對的圓周角減去 所對的圓周角，計算即可得解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解含30度角的直角三角形的相關知識，掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，以及對垂徑定理的理解，了解垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．