Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE．

（1）求AC、AD的長；

（2）試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 5cm；5cm；(2) 直線PC與⊙O相切，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）連接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，運用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD，

（2）連接OC，由角的關系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直線PC與⊙O相切．

試題解析：（1）①如圖，連接BD，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ABC中，

AC=（cm），

②∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴，

∴AD=BD，

∴Rt△ABD是直角等腰三角形，

∴AD=AB=×10=5cm；

（2）直線PC與⊙O相切，

理由：連接OC，

∵OC=OA，

∴∠CAO=∠OCA，

∵PC=PE，

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACE=∠ECB，

∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，

即OC⊥PC，

∴直線PC與⊙O相切．