Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BDF＝18°．

【解析】

（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，求出∠ABC=90°，然后根據矩形的判定定理，即可得到結論；

（2）求出∠FDC的度數，根據三角形的內角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度數.

（1）證明：∵AO＝CO，BO＝DO，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC＝∠ADC，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形；

（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，

∴∠FDC＝36°，

∵DF⊥AC，

∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CO＝OD，

∴∠ODC＝∠DCO＝54°，

∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．