Question

【題目】如圖，在ABCD中，各內角的平分線相交于點E，F，G，H．

（1）求證：四邊形EFGH是矩形；

（2）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四邊形EFGH的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）矩形EFGH的面積= ．

【解析】

（1）根據角平分線的定義以及平行四邊形的性質，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，進而判定四邊形EFGH是矩形；

（2）根據含30°角的直角三角形的性質，得到BGAB=3，AG=3CE，BFBC=2，CF=2，進而得出EF和GF的長，可得四邊形EFGH的面積．

（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB∠BAD，∠GBA∠ABC．

∵ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得：∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四邊形EFGH是矩形；

（2）依題意得：∠BAG∠BAD=30°．

∵AB=6，∴BGAB=3，AG=3CE．

∵BC=4，∠BCF∠BCD=30°，∴BFBC=2，CF=2，∴EF=3，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面積=EF×GF．