Question

【題目】如圖1，已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC為邊作平行四邊形CEFB，連CD、CF．

（1）如圖2，△ADE繞點A旋轉一定角度，求證：CD＝CF；

（2）如圖3，AE＝，AB＝，將△ADE繞A點旋轉一周，當四邊形CEFB為菱形時，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）6或4

【解析】

（1）連接FD，證明△ADC≌△EDF（SAS），推出△DFC為等腰直角三角形即可解決問題；

（2）分兩種情形分別畫出圖形，利用（1）中結論求出CD即可解決問題．

（1）解：連接FD，設DE與AC交于點G

∵四邊形CEFB是平行四邊形

∴BC∥EF

∵AC⊥BC

∴EF⊥AC

∵AD⊥DE，EF⊥AC，∠DGA=∠CGE

∴∠DAC=∠DEF，

又∵AD=ED，AC=EF，

∴△ADC≌△EDF（SAS），

∴DC=DF，∠ADC=∠EDF，即∠ADE+∠EDC=∠FDC+∠EDC，

∴∠FDC=∠ADE=90°，

∴△DFC為等腰直角三角形，

∴CD＝CF；

（2）解：如圖，設AE與CD的交點為M，

∵四邊形CEFB為菱形

∴CE=CB

∵△ADE、△ACB為等腰直角三角形

∴CA=CB

∴CE=CA，

∵DE=DA，

∴CD垂直平分AE，

∵AE=,AB=

∴DM=EM=AE=，AC=BC=AB=

∴CE=

∴CM==，

∴CD=DM+CM=，

∵CF=CD，

∴CF=6；

如圖，設AE與CD的交點為M，

同法可得CD=CM-DM=-=，

∴CF=CD=4；

綜上所述，滿足條件的CF的值為6或4．