Question

（2008•西藏）已知：如圖，AB是⊙O的直徑．OD⊥AB．交⊙O于點F，點C是⊙O上一點，連接OC、AC、BC．AC的延長線交OD于點D，BC交OD于點E．
（1）證明：∠OCE=∠ODC；
（2）證明：OC²=OE•OD；
（3）如果點C在

AF

上運動（與點A、點F不重合）．當OA=2時，△AOD面積用y表示，設OE=x，寫出面積y與x的函數表達式，并確定自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據圓的半徑相等可得OA=OC，再根據等邊對等角求出∠A=∠ACO，然后利用等角的余角相等求解即可；
（2）先求出△OCE和△ODC相似，再根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可；
（3）根據（2）的結論表示出OD，然后根據三角形的面積公式列式整理即可得解，根據點E在OD上確定x的取值范圍即可．

解答：（1）證明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCE=90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ODC+∠A=90°，
∴∠OCE=∠ODC；

（2）證明：∵∠OCE=∠ODC，∠COE=∠DOC，
∴△OCE∽△ODC，
∴

OC

OD

=

OE

OC

，
∴OC²=OE•OD；

（3）解：∵OA=2，
∴OC=2，
又∵OC²=OE•OD，OE=x，
∴2²=x•OD，
∴OD=

4

x

，
∴△AOD的面積y=

1

2

OA•OD=

1

2

×2×

4

x

=

4

x

，
即y=

4

x

，
∵點C在

AF

上運動（與點A、點F不重合），
∴點E在OD上，（與點O、點D不重合），
∴0＜x＜2．

點評：本題是圓的綜合題型，主要考查了同一個圓的半徑相等，等邊對等角的性質，等角的余角相等，相似三角形的判定與性質，以及三角形的面積，綜合題，但難度不大，仔細分析便不難求解．