Question

【題目】如圖，在矩形 ABCD 中，對角線 BD 的垂直平分線 MN 與 AD 相交于點 M ，與 BD 相交于點 N ，連接 BM 、 DN .

（1）求證： BN DM ；

（2）若 AB 4 ， AD 8，求 MD 的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DM=5.

【解析】

（1）由矩形的性質可得AD∥BC，通過“角邊角”證明△BON≌△DOM，則BN DM；

（2）根據垂直平分線的性質可得BM=DM，設DM=x，則AM=8﹣x，在Rt△ABM中，利用勾股定理可得關于x的方程，然后求解方程即可.

解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD∥BC，

∴∠OBN=∠ODM，

∵MN垂直平分BD，

∴BO=DO，∠BON=∠DOB，

∴△BON≌△DOM（ASA），

∴BN=DM；

（2）∵MN垂直平分BD，

∴BM=DM，

設DM=x，則AM=8﹣x，

在Rt△ABM中，，

則，

解得x=5，

則DM=5.