Question

【題目】正方形中，點是對角線的中點，是對角線上一動點，過點作于點．如圖，當點與點重合時，顯然有．

（）如圖，若點在線段上（不與點、重合），且交于點．

求證：．

（）如圖所示建立直角坐標系，且正方形的邊長為，若點在線段上（不與點、重合），，且交直線于點．請在圖中作出示意圖，并且求出當是一個等腰三角形時，點的坐標為__________（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（）見解析（）

【解析】試題分析：

（1）如圖，連接PD，由正方形是關于對角線對稱的軸對稱圖形和點P在AC上可得，；由，可得，結合，可得，從而可得，再結合即可得到DF=EF；

（2）如圖2，先按要求畫出圖形，再過P作PG⊥x軸于點G，PH⊥y軸于點H，則由已知易得PG=PH=GC=HC，△BPG≌△EPH，從而可得EH=BG，設PG=a，則可得：GC=CH=a，PC=，BG=EH=1-a，CE=1-2a；由△PCE是等腰三角形和∠PCE是鈍角可得：PC=CE，從而可得，由此求得a的值即可得到點P的坐標了.

試題解析：

（）如圖，連接，

∵ 四邊形是正方形，點P在對角線AC上，

∴ 由正方形關于對角線AC對稱可得：，，

∵ ，，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∵ ．

（）點坐標為，

過點作軸，軸，

∵ 四邊形是正方形，為對角線，

∴ ，，

又∵，

∴ ，

∴ ≌，

∴ ，

設，則，PC=，

∴ ，

∴ ，

∵ 為鈍角，

∴ 當為等腰三角形時， ，

∵ ，，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 點坐標為．