Question

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，將一塊等腰三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點．如圖①、②、③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況，研究：
（1）三角板繞點P旋轉，觀察線段PD與PE之間有什么數量關系？并結合圖②說明理由．
（2）三角板繞點P旋轉，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接PC，通過證明△PCD≌△PBE，得出PD=PE．
（2）分為點C與點E重合、、CE=1、E在CB的延長線上四種情況進行說明．
解答：解：（1）由圖①可猜想PD=PE，再在圖②中構造全等三角形來說明．即PD=PE．
理由如下：
連接PC，因為△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE．

（2）△PBE是等腰三角形，
①當PE=PB時，此時點C與點E重合，CE=0；
②當BP=BE時，E在線段BC上，；E在CB的延長線上，；
③當EP=EB時，CE=1．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等腰三角形的性質；此題是分類討論題，應分情況進行論證，不能漏解．