Question

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．將一塊足夠大的等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點．如圖①②③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況．
（1）三角板繞點P旋轉，當PD⊥AC時，如圖①，四邊形PDCE是正方形，則PD=PE．當PD與AC不垂直時，如圖②、③，PD=PE還成立嗎？并選擇其中的一個圖形證明你的結論．
（2）若D、E兩點分別在線段AC和CB上移動時，設BE的長為x，△APD的面積為y，求y與x之間的函數關系式．
（3）三角板繞點P旋轉，△PEB是否能成為等腰三角形？若能，求出此時CE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為△ABC是等腰直角三角形，所以連接PC，容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形．連接CP，就可以證明△CDP≌△BEP，再根據全等三角形的對應邊相等，就可以證明DP=PE；
（2）過點P作PF⊥AC于點F，則PF=

1

2

AC=1，再由△APD的面積y=

1

2

AD•PF=

1

2

（2-x）×1，即可求出y與x之間的函數關系式；
（3）題目只要求是等腰三角形，所以需要分三種情況進行討論，這樣每一種情況下的CE的長也就不難得出．

解答：解：（1）PD=PE依然成立．
證明：如圖②，連接PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中點，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°，
即∠ACP=∠B=45°，
∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE，
∴△PCD≌△PBE，
∴PD=PE．

（2）由（1）得CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°，
∴△ACP是等腰直角三角形，
∴AP=CP，△PCD≌△PBE，
∴CD=BE=x，
∴AD=AC-CD=2-x，
過點P作PF⊥AC于點F，則PF=

1

2

AC=1，
∴△APD的面積y=

1

2

AD•PF=

1

2

（2-x）×1，
即y=1-

1

2

x．

（3）分三種情況討論如下：
①當PE=PB時，點C與點E重合，即CE=0．
②當PE=BE時，CE=1．
③當BE=PB時，
若點E在線段CB上時，CE=2-

2

；
若點E在CB延長線上時CE=2+

2

．

點評：本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質與判定，第三問的解答應分情況進行論證，不能漏解，有一定難度．