Question

在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的一點，且

AE

EB

=

BF

FC

=

AH

HD

=

DG

GC

=k（k＞0）．閱讀下段材料，回答下列問題：
如圖，連接BD，∵

AE

EB

=

AH

HD

，∴EH∥BD，∵

BF

FC

=

DG

GC

，∴FG∥BD，∴FG∥EH．
（1）連接AC，則EF與GH是否一定平行，答：

 

；
（2）當k值為

 

時，四邊形EFGH為平行四邊形；
（3）在（2）的情形下，對角線AC與BD只須滿足

 

條件時，EFGH為矩形；
（4）在（2）的情形下，對角線AC與BD只須滿足

 

條件時，EFGH為菱形．

Answer 1

分析：（1）當E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點時，EF與GH一定平行；
（2）要使四邊形EFGH為平行四邊形，E，F，G，H必須分別是AB，BC，CD，DA的中點；
（3）要使平行四邊形EFGH為矩形，則對角線AC與BD必須垂直，
（3）要使平行四邊形EFGH為菱形，則對角線AC與BD必須相等．

解答：解：（1）∵E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的一點，∴EH與AC，FG與AC都不一定平行，EF與GH不一定平行；

（2）∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴EF∥GH，
∴

AE

EB

=

CF

BF

，
∵

AE

EB

=

BF

CF

，
∴BF=CF，
∴k=1；

（3）當AC⊥BD時，EFGH為矩形．
由（2）得：四邊形OMHN是平行四邊形，
∴∠H=∠MON=90°，
∴平行四邊形EFGH為矩形；

（4）當AC=BD時，
∵EH=GF=

1

2

BD，EF=GH=

1

2

AC，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四邊形EFGH為菱形．

點評：掌握特殊平行四邊形的判定是解此題的關鍵．