Question

平面上的點M關于直線l有唯一的軸對稱點M′，這樣平面上的任意一點就與該點關于這條直線的軸對稱點之間建立了一種對應關系，我們把這種對應關系叫做點M關于直線l的軸對稱變換，記為MM′（l），點M的軸對稱點就記為M′（l），如圖（1）所示．如果先作平面上的點M關于直線l的軸對稱變換，MM′（l），M得到對應點M′（l），然后，再作M′（l）關于另外一條直線m的軸對稱變換，M′（l）M″（l，m），這樣點M就與該點關于直線l和m的軸對稱點M″（l，m）之 間建立了一種對應關系，我們把這種對應關系就叫做點M關于直線l和m的軸對稱變換，M′（l）M″（l，m），記為，M的對應點就記為M″（l，m）．如圖（2），M是平面上的一點，直線l、m相交所成的角為θ（0°＜θ≤90°），且交點為O，請回答如下問題：
（1）在備用圖中，請畫出M′（l）和M″（l，m）（保留畫圖痕跡）．
（2）當θ=______°時，M與M″（l，m）關于點O成中心對稱．
（3）試探究∠MOM′′與θ之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）

（2）當M與M″（l，m）關于點O成中心對稱時，∠MOM″=180°，
∵M與M′關于l對稱，
∴∠MOE=∠M′OE，同理∠FOM″=∠FOM′，
∴∠MOM″=2∠EOF=2θ=180°
∴∠θ=90°．
故答案是：90；
（3）∠MOM″=2θ．
證明：∵M與M′關于l對稱，
∴∠MOE=∠M′OE，同理∠FOM″=∠FOM′，
∴∠MOM″=2∠EOF=2θ．
分析：（1）作出M關于l的對稱點M′，再作出M′關于m的對稱點即可求解；
（2）M與M′關于l對稱，則l是MM′的垂直平分線，則∠MOE=∠M′OE，同理∠FOM″=∠FOM′，即可得到∠MOM″=2∠EOF，從而求解；
（3）解法與（2）相同．
點評：本題考查了作一個點關于直線的對稱點的作法，以及對稱點的性質，對稱軸是對稱點連線的中垂線．