Question

平面上的點M關于直線l有唯一的軸對稱點M′，這樣平面上的任意一點就與該點關于這條直線的軸對稱點之間建立了一種對應關系，我們把這種對應關系叫做點M關于直線l的軸對稱變換，記為，點M的軸對稱點就記為M′（l），如圖（1）所示．如果先作平面上的點M關于直線l的軸對稱變換，得到對應點M′（l），然后，再作M′（l）關于另外一條直線m的軸對稱變換，這樣點M就與該點關于直線l和m的軸對稱點M′′（l，m）之間建立了一種對應關系，我們把這種對應關系就叫做點M關于直線l和m的軸對稱變換，記為，M的對應點就記為M′′（l，m）．如圖（2），M是平面上的一點，直線l、m相交所成的角為θ（0°＜θ≤90°），且交點為O，請回答如下問題：
（1）在圖（2）中，求作M′（l）和M′′（l，m）．（要求保留作圖痕跡）
（2）當θ=______°時，M與M′′（l，m）關于點O成中心對稱．
（A）30（B）45（C）60（D）90
（3）（在以下兩題中任選一題作答）
①試探討∠MOM′′（l，m）與θ之間的數量關系，并證明你的結論．
②試探討OM與OM′′（l，m）間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）應先做M關于l的對稱點M′，再做M′關于m的對稱點M″．
（2）成中心對稱，應和O在同一直線上，那么∠MOM''=180°，翻折兩次，可得到θ=90°．
（3）根據軸對稱的性質作答即可．
解答：解：（1）每畫對一個給（2分）．（4分）

（2）90°，故選D．（7分）

（3）①判斷：∠MOM″（l，m）=2∠θ．（8分）
證明：如圖（1），由軸對稱性質可知，l垂直平分MM′（l），
則△OMM′（l）為等腰三角形．（10分）
∵∠1=∠2．同理∠3=∠4，（11分）
∴∠MOM″（l，m）=2∠θ．（12分）

②判斷：OM=OM″（l，m）．
證明：如圖（2），連接OM、OM′（l）、OM″（l，m）．
∵M，M′（l）關于直線l成軸對稱，
∴l是MM′（l）的垂直平分線．
∴OM=OM′（l）．（10分）
同理可得：OM′（l）=OM″（l，m）．（11分）
∴OM=OM″（l，m）．（12分）

點評：關于軸對稱的兩個圖形，各對應點的連線被對稱軸垂直平分，可得到相應的線段相等，角相等．