Question

【題目】如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④CO平分∠AOE；⑤∠AOB=60°．恒成立的結論有__．（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③④⑤

【解析】

根據等邊三角形的性質及SAS即可證明△ACD≌△BCE即可求解.

①△ABC和△DCE均是等邊三角形，點A，C，E在同一條直線上，

∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°

∴△ACD≌△ECB

∴AD=BE，故本選項正確；

②∵△ACD≌△ECB

∴∠CBQ=∠CAP，

又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，

∴△BCQ≌△ACP，

∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，

∴△PCQ為等邊三角形，

∴∠QPC=60°=∠ACB，

∴PQ∥AE，故本選項正確；

③∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，

∴∠ACP=∠BCQ，

∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴CP=CQ，AP=BQ，故本選項正確；

④∵BC∥DE，
∴∠CBE=∠BED，
∵∠CBE=∠DAE，
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，
同理可得出∠AOE=120°，
∵D，O，C，E四點共圓，
∴∠OCD=∠OED，
∴∠OAC=∠OCD，
∴∠DCE=∠AOC=60°，
∴OC平分∠AOE，故④正確；

⑤∵△ABC、△DCE為正三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAD=∠CBE，

∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，

∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，

∴∠AOB=60°，故本選項正確．

綜上所述，正確的結論是①②③④⑤．