Question

【題目】如圖，直線y＝x+3與x軸、y軸分別相交于A、C兩點，過點B（6，0），E（0，﹣6）的直線上有一點P，滿足∠PCA＝135°．

（1）求證：四邊形ACPB是平行四邊形；

（2）求直線BE的解析式及點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）點P的坐標為（9，3）．

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A、C的坐標，進而可得出∠CAO=45°，結合∠PCA=135°可得出∠CAO+∠PCA=180°，利用“同旁內角互補，兩直線平行”可得出AB∥CP，同理可求出∠ABE=45°=∠CAO，利用“內錯角相等，兩直線平行”可得出AC∥BP，再利用平行四邊形的判定定理可證出四邊形ACPB為平行四邊形；
（2）由點B、E的坐標，利用待定系數法可求出直線BE的解析式，由AB∥CP可得出點P的縱坐標，再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標．

（1）∵直線y＝x+3與x軸、y軸分別相交于A、C兩點，

∴點A的坐標為（﹣3，0），點C的坐標為（0，3），

∴OA＝OC．

∵∠AOC＝90°，

∴∠CAO＝45°．

∵∠PCA＝135°，

∴∠CAO+∠PCA＝180°，

∴AB∥CP．

∵點B的坐標為（6，0），點E的坐標為（0，﹣6），

∴OB＝OE．

∵∠BOE＝90°，

∴∠OBE＝45°，

∴∠CAO＝∠ABE＝45°，

∴AC∥BP，

∴四邊形ACPB為平行四邊形．

（2）設直線BE的解析式為y＝kx+b（k≠0），

將B（6，0）、E（0，﹣6）代入y＝kx+b，得：

，解得：

∴直線BE的解析式為y＝x﹣6．

∵AB∥CP，

∴點P的縱坐標是3，

∴點P的坐標為（9，3）．