Question

【題目】如圖1，AB//EF,∠2=2∠1

（1）證明∠FEC=∠FCE；

（2）如圖2，M為AC上一點，N為FE延長線上一點，且∠FNM=∠FMN，則∠NMC與∠CFM有何數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）∠CFM＝2∠NMC，理由見解析

【解析】

(1)由平行線的性質可得∠1＝∠CEF，再加上∠2＝2∠1，∠2＝∠CEF+∠C，從而得到結論；

(2)如圖，由三角形外角性質可得∠7＝∠3+∠4，從而得到∠C＝∠3+∠4，再加上∠C+∠5＝∠8+∠N可得∠3+∠4+∠5＝∠8+∠N，再加上∠FNM=∠FMN可得：∠3+∠4+∠5＝∠8+∠3+∠8，從而得出結論.

(1)∵AB//EF,

∴∠1＝∠CEF，

又∵∠2＝2∠1（已知），∠2＝∠CEF+∠C（三角形外角的性質），

∴2∠1＝∠2＝∠1+∠C，

∴∠1＝∠C，

∴∠FEC=∠C，即∠FEC=∠FCE；

(2)如圖所示：

∵∠7＝∠3+∠4，∠7＝∠6，∠6＝∠C（已證），

∴∠C＝∠3+∠4，

又∵∠7＝∠6，

∴∠C+∠5＝∠8+∠N，

∴∠3+∠4+∠5＝∠8+∠N，

又∵∠FNM=∠FMN，

∴∠N＝∠3+∠8，

∴∠3+∠4+∠5＝∠8+∠3+∠8，

又∵∠4+∠5＝∠CFM，

∴∠3+∠CFM＝∠8+∠3+∠8，

∴∠CFM＝2∠8，即∠CFM＝2∠NMC.