Question

【題目】閱讀材料：基本不等式≤（a＞0，b＞0），當且僅當a＝b時，等號成立．其中我們把叫做正數a、b的算術平均數，叫做正數a、b的幾何平均數，它是解決最大（小）值問題的有力工具．

例如：在x＞0的條件下，當x為何值時，x+有最小值，最小值是多少？

解：∵x＞0，＞0∴≥即是x+≥2

∴x+≥2

當且僅當x＝即x＝1時，x+有最小值，最小值為2．

請根據閱讀材料解答下列問題

（1）若x＞0，函數y＝2x+，當x為何值時，函數有最小值，并求出其最小值．

（2）當x＞0時，式子x2+1+≥2成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）x＝時，有最小值，最小值為2；（2）式子不成立，見解析.

【解析】

（1）將原式變形為2x+≥2后，結合材料即可解決問題；

（2）將原式變形為x2+1+≥2后，結合材料及x＞0即可作出判斷．

解：（1）∵x＞0，

∴2x＞0，

∴2x+≥2＝2，

當且僅當2x＝即x＝時，2x+有最小值，最小值為2．

（2）式子不成立．

理由：∵x＞0，

∴x2+1＞0，＞0，

∴x2+1+≥2＝2，

當且僅當x2+1＝即x＝0時，不等式成立，

∵x＞0，

∴不等式不能取等號，即不成立．