Question

【題目】如圖①，已知拋物線y＝-x2＋bx＋c與x軸交于點A(-1，0)、B(3，0)，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點D的坐標為(1，0)，點P為第一象限內拋物線上的一點，求四邊形BDCP面積的最大值；

(3)如圖②，動點M從點O出發，以每秒2個單位長度的速度向點B運動，到達點B時停止運動，且不與點O、B重合．設運動時間為t秒，過點M作x軸的垂線交拋物線于點N，交線段BC于點Q，連接OQ，是否存在t值，使得△BOQ為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S四邊形BDCP最大值為；（3）存在，或

【解析】

（1）把A，B兩點坐標代入解析式，求出b，c的值即可；

（2）設，過點P作PE⊥x軸于點E，則，再由S四邊形BDCP=S梯形COEP-S△COD+S△BEP，求出最大值即可；

（3）分三種情況討論，①當OQ=BQ時，②當BO=BQ時，③當OQ=OB時，分別求出t即可.

解：（1）∵點A(-1，0)、B(3，0)，

∴，

解得： ，

∴；

（2）∵點P為第一象限內拋物線上的一點，

設，過點P作PE⊥x軸于點E，

拋物線與y軸的交點，令x=0，得y=3，

∴，

∴OC=3，

∵D（1，0），

∴OD=1，

∵，

∴S四邊形BDCP=S梯形COEP-S△COD+S△BEP

，

∴當時，S四邊形BDCP最大值為；

（3）∵M（2t，0），MN⊥x軸，

∴Q（2t，3-2t），

∵△BOQ為等邊三角形，

∴分三種情況討論，

①當OQ=BQ時，

∵QM⊥OB，

∴OM=MB，

∴2t=3-2t，

∴；

②當BO=BQ時，

在Rt△BMQ中，∠OBQ=45°，

∴，

∴，即，

∴；

③當OQ=OB時，

則Q、C重合，此時t=0，

由題知，t＞0，

∴不存在，

綜上，或時，△BOQ為等腰三角形.