Question

3．在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（2，1），正比例函數y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°，求這個正比例函數的表達式為y=3x或y=-$\frac{1}{3}$x．

Answer 1

分析 ①當直線過第一、三象限時，如圖1，過點A作AB⊥OA，交待求直線于點B，過點A作平行于y軸的直線交x軸于點C，過點B作BD⊥AC于點D，由∠OAB=∠OCA=∠D=90°知△OCA∽△ADB，得$\frac{OC}{AD}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{OA}{AB}$，根據A（2，1）、∠AOB=45°得AD=OC=2、BD=AC=1，即可得點D、B的坐標，從而得出答案；
②當直線過第二、四象限時，過點A作AB⊥OA，交待求直線于點B，過點A作直線平行于x軸，交y軸于點C，過點B作BD⊥AC，與（1）同理．

解答 解：分兩種情況：
①當直線過第一、三象限時，如圖1，過點A作AB⊥OA，交待求直線于點B，過點A作平行于y軸的直線交x軸于點C，過點B作BD⊥AC于點D，

則∠OAB=∠OCA=∠D=90°，
∴△OCA∽△ADB，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{OA}{AB}$，
∵A（2，1），∠AOB=45°，
∴OC=2，AC=1，AO=AB，
∴AD=OC=2，BD=AC=1，
∴點D的坐標為（2，3），
∴點B的坐標為（1，3），
此時正比例函數的解析式為y=3x；
②當直線過第二、四象限時，過點A作AB⊥OA，交待求直線于點B，過點A作直線平行于x軸，交y軸于點C，過點B作BD⊥AC，

則∠OAB=∠OCA=∠D=90°，
∴△OCA∽△ADB，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{OA}{AB}$，
∵A（2，1），AC=2，AO=AB，
∴AD=OC=1，BD=AC=2，
∴D點坐標為（3，1），
∴點B的坐標為（3，-1），
此時正比例函數解析式為y=-$\frac{1}{3}$x，
故答案為：y=3x或y=-$\frac{1}{3}$x．

點評 本題主要考查待定系數法求正比例函數解析式、相似三角形的判定與性質，根據相似三角形的判定與性質得出點D、點B的坐標是解題的關鍵．