Question

【題目】如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，AD交⊙O 于點E．

(1) 求證：AC平分∠DAB；

(2) 連接CE，若CE=6，AC=8，求AE的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.8.

【解析】試題分析：（1）連接OC，利用條件可證得AD∥OC，再根據平行線的性質和角之間的關系可得∠DAC=∠CAO，即可得證；

（2）連接BC、OE，根據圓周角定理和勾股定理可求AB的長，然后根據相似三角形的判定和性質可得到AD=4.8，DE=3.6，由此可解.

試題解析：（1）證明：連接OC，則OC⊥CD，又AD⊥CD，∴∠ADC=∠OCD=90°，

∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，

又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB．

（2）解：連接BC、OE,

∵∠EOA＝2∠CAD，∠COB=2∠CAO

∵∠CAD＝∠CAO,∴∠EOA＝∠COB

∴BC=EC=6

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°,

又AC=8，勾股定理易得AB=10，

∵∠DAC＝∠CAB,∠ADC＝∠ACB=90°,

∴△ADC∽△ACB,∴,

∴AD==6.4，

又∠DEC=∠ABC,同理可得DE=3.6，

∴AE=AD-DE=6.4-3.6=2.8.