Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，C、D是半圓弧上的兩點，E是AB上除O外的一點，AC與DE相交于F．①

AD

=

CD

，②DE⊥AB，③AF=DF．
（1）寫出“以①②③中的任意兩個為條件，推出第三個（結論）”的一個正確命題，并加以證明；
（2）“以①②③中的任意兩個為條件，推出笫三個（結論）”可以組成多少個正確的命題？（不必說明理由）

Answer 1

分析：本題中主要是用圓周角定理和等角的余角相等來求解，以①②為條件③為結論來舉例，連接BD，AD，CD．那么根據圓周角定理我們可得出∠BDA=90°，∠ACD=∠DAC=∠CBD，根據要證AF=FD，那么就要證∠CAD=∠FDA，而∠FDA+∠BAD=90°=∠BAD+∠DBA，因此∠DBE=∠EDA，由于我們根據圓周角定理已經求得了∠DBA=∠CAD因此就可得出∠FDA=∠CAD，也就得出了AF=FD．其他的組合方法解題思路與這個都一樣．

解答：解：（1）①②為條件，③為結論
證明：連接AD，CD，BD，CB．則∠BDA=90°
∵

CD

=

AD

，
∴∠DCA=∠DAC=∠DBA，
∵∠DBA+∠DAE=90°，∠FDA+∠DAE=90°
∴∠FDA=∠DBA，
∴∠DBA=∠DAF=∠FDA
∴AF=FD．

（2）①②為條件，③為結論．
①③為條件，②為結論．
②③為條件，①為結論．
共三組．

點評：本題主要考查了圓周角定理的應用，根據圓周角得出相關的角相等或互余是解題的關鍵．