Question

（2013•東陽市模擬）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AC、BC為弦，點P為⊙O上一點，弧AC=弧AP，AB=10，tanA=

3

．
（1）求PC的長；
（2）過P作⊙O切線交BA延長線于E，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）由弧AC=弧AP，根據垂徑定理可得AB⊥CP，AD=PD=

1

2

PC，由AB為⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可求得∠ACB=90°，由tanA=

3

，可得∠BAC=60°，由三角函數可求得AC的長，繼而求得答案；
（2）首先連接OP，可求得△OPE的面積與扇形AOP的面積，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵

AC

=

AP

，
∴AB⊥CP，AD=PD=

1

2

PC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵tanA=

3

．
∴∠BAC=60°，
∴AC=AB•cos60°=5，
∴CD=AC•sin60°=

5 3

2

，
∴PC=5

3

；

（2）連接OP，
∵PE是⊙O的切線，
∴OP⊥PE，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACP=90°-∠BAC=30°，
∴∠AOP=2∠ACP=60°，
∵OP=

1

2

AB=5，
∴PE=OP•tan60°=5

3

，
∴S_△OPE=

1

2

OP•PE=

25 3

2

，S_扇形AOP=

60

360

π×5²=

25

6

π，
∴S_陰影=S_△OPE-S_扇形AOP=

25

2

3

-

25

6

π．

點評：此題考查了切線的性質、扇形的面積以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．