Question

【題目】如圖所示，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，作的平分線交圓周于點D，連結AD、BD，AB、CD交于點E．

（1）求證：△ABD為等腰直角三角形；

（2）填空：

①若，則AE的長度為_______；

②在①的條件下，延長AC、DB交于點P，則______．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②6．

【解析】

（1）由AB為直徑，則，由角平分線和圓周角定理，得到，即可得到結論；

（2）①作，則，由三角形的面積之比，得到，然后求出AB的長度，即可得到答案；

②由題意，先證明△ADP∽△BCP，則，根據比例進行計算，即可得到答案．

（1）證明:∵CD平分

∴

∵

∴

∴

∵AB為⊙O的直徑

∴

∴△ABD為等腰直角三角形;

（2）作，如圖1所示：

∵CD平分，，

∴

∵，

∴，

∴，

在Rt△ABC（AB為⊙O的直徑）中，由勾股定理得:

∴；

故答案為：；

②如圖：

由①可知，，△ABD為等腰直角三角形，

∴，

∵∠ADB=∠BCP=90°，∠P=∠P，

∴△ADP∽△BCP，

∴，

∵，，

∴，

解得：，，

故答案為：6；