Question

【題目】如圖(1)，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF，連接CF.

(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，

①當點D在線段BC上時(與點B不重合)，如圖(2)，線段CF，BD所在直線的位置關系為______，線段CF，BD的數量關系為________；

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖(3)，①中的結論是否仍然成立，并說明理由；

(2)如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC(點C、F不重合)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①CF⊥BD；CF＝BD，②成立，理由見解析；（2）∠ACB＝45°時，CF⊥BC

【解析】試題分析：（1）當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．

（2）當∠ACB=45°時，過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G，則∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．

試題解析：

（1）①結合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD．
②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．
即CF⊥BD．
（2）當∠ACB=45°時，CF⊥BD（如圖）．

理由：過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G，
則∠GAC=90°，
∵∠ACB=45°，∠AGC=90°-∠ACB，
∴∠AGC=90°-45°=45°，
∴∠ACB=∠AGC=45°，
∴AC=AG，
∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGC=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．