Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，將線段AC繞點A逆時針旋轉α°（0＜α＜180），得到線段AD，連接BD，交AC于點P．

（1）當α=90時，

①依題意補全圖形；

②求證：PD=2PB；

（2）寫出一個α的值，使得PD=PB成立，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）當α=60°(或120°)時，PD=PB，證明見解析

【解析】

（1）當α=90°時，①依題意即可補全圖形；
②根據30度角所對直角邊等于斜邊一半即可證明PD=2PB；
（2）當α的值為60（或120）度時，根據相似三角形的性質即可證明PD=PB成立．

（1）①如圖

②∵AC＝AD，AB＝AC

∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB

又∵∠BAC＝30°，∠BAD＝90°

∴∠ABD＝∠ADB＝30°

∴AP＝BP

在Rt△APD中，∠ADB＝30°

∴PD＝2AP

∴PD＝2PB

（2）當α=60°(或120°)時，PD=PB

情況Ⅰ：當α=60°時，過點D作DF⊥AC，垂足為點F，過點B作BE⊥AC，垂足為點E，

∴DF∥BE

∴△DFP∽△BEP

∴

在Rt△ABE中，∠BAC＝30°

∴AC＝2BE

在Rt△ADF中，∠CAD＝60°

∴AD＝DF

又∵AD＝AC＝AB

∴2BE＝DE，即BE＝DF

∴PB＝PD

情況Ⅱ：當α=120°時，過點D作DF⊥AC，交CA的延長線于點F， 過點B作BE⊥AC，垂足為點E，

∴DF∥BE

∴△DFP∽△BEP

∴

在Rt△ABE中，∠BAC＝30°

∴AC＝2BE

在Rt△ADF中，∠FAD＝60°

∴AD＝DF

又∵AD＝AC＝AB

∴2BE＝DE，即BE＝DF

∴PB＝PD