Question

【題目】如圖，已知中， 是邊上的點，將繞點旋轉，得到.

（1）當時，求證： .

（2）在（1）的條件下，猜想， ， 有怎樣的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）利用旋轉的性質得AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，再計算出∠EAD′=∠DAE=45°，則利用“SAS”可判斷△AED≌△AED′，所以DE=D′E；
（2）由（1）知△AED≌△AED′得到ED=ED′，∠B=∠ACD′，再根據等腰直角三角形的性質得∠B=∠ACB=45°，則根據性質得性質得BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，所以∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=90°，于是根據勾股定理得CE2+D′C2=D′E2，所以BD2+CE==DE2．

試題解析：（1）證明：∵△ABD繞點A旋轉，得到△ACD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°
∴∠EAD′=∠DAD′-∠DAE=90°-45°=45°，
∴∠EAD′=∠DAE，
在△AED與△AED′中
，
∴△AED≌△AED′，
∴DE=D′E；
（2）解：BD2+CE==DE2．理由如下：
由（1）知△AED≌△AED′得到：ED=ED′，∠B=∠ACD′，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵△ABD繞點A旋轉，得到△ACD′
∴BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，
∴∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=45°+45°=90°，
在Rt△CD′E中，CE2+D′C2=D′E2，
∴BD2+CE==DE2．