Question

【題目】如圖，點A是以BC為直徑的⊙O上一點，AD⊥BC于點D，過點B作⊙O的切線，與CA的延長線相交于點E，G是AD的中點，連接CG并延長與BE相交于點F，延長AF與CB的延長線相交于點P，且FG＝FB＝3．

（1）求證：BF＝EF；

（2）求tanP；

（3）求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）tanP＝；（3）r＝3．

【解析】

（1）根據已知條件得到∠EBC＝∠ADC＝90°，根據平行線分線段成比例定理的，等量代換即可得到結論；

（2）連接AB，根據圓周角定理得到∠BAC＝∠BAE＝90°，推出FA＝FB＝FE＝FG＝3，過點F作FH⊥AG交AG于點H，推出四邊形FBDH是矩形，得到FB＝DH＝3，根據勾股定理得到FH＝，根據平行線的性質得到∠AFH＝∠APD，根據銳角三角函數的定義即可得到結論；

（3）設半徑為r，根據勾股定理列方程即可得到結論．

（1）∵EB是切線，AD⊥BC，

∴∠EBC＝∠ADC＝90°，

∴AD∥EB，

∴，

∵AG＝GD，

∴EF＝FB；

（2）連接AB，

∵BC是直徑，

∴∠BAC＝∠BAE＝90°，

∵EF＝FB，

∴FA＝FB＝FE＝FG＝3，

過點F作FH⊥AG交AG于點H，

∵FA＝FG，FH⊥AG，

∴AH＝HG，

∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90°，

∴四邊形FBDH是矩形，

∴FB＝DH＝3，

∵AG＝GD，

∴AH＝HG＝1，GD＝2，FH＝

∵FH∥PD，

∴∠AFH＝∠APD，

∴tanP＝tan∠AFH＝；

（3）設半徑為r，在RT△ADO中，

∵AO2＝AD2+OD2，

∴r2＝42+（r﹣2）2，

．∴r＝3．