Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=3+,∠B=45°，∠C=105°，點 D、E、F分別在AC、BC、AB上，且四邊形ADEF為菱形，若點P是AE上一個動點，則PF+PB的最小值為___________ 。

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，連接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．由四邊形ADEF是菱形，推出F，D關于直線AE對稱，推出PF=PD，推出PF+PB=PA+PB，由PD+PB≥BD，推出PF+PB的最小值是線段BD的長．

如圖，連接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．

∵四邊形ADEF是菱形，

∴F，D關于直線AE對稱，

∴PF=PD，

∴PF+PB=PA+PB，

∵PD+PB≥BD，

∴PF+PB的最小值是線段BD的長，

∵∠CAB=180°-105°-45°=30°，設AF=EF=AD=x，則DH=EG=x，FG=x，

∵∠EGB=45°，EG⊥BG，

∴EG=BG=x，

∴x+x+x=3+，

∴x=2，

∴DH=1，BH=3，

∴BD==，

∴PF+PB的最小值為，

故答案為：．