Question

【題目】定義：如果兩個等腰三角形的頂角互補，頂角的頂點又是同一個點，而且它們的腰也分別相等，則稱這兩個三角形互為“頂補等腰三角形”．

（1）如圖1，若△ABC與△ADE互為“頂補等腰三角形”．∠BAC＞90°，AM⊥BC于M，AN⊥ED于N．求證：DE=2AM；

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，在四邊形ABCD的內部是否存在點P，使得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”？若存在，請給予證明，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，證明見解析

【解析】

（1）證明△ABM≌△DAN，由全等三角形的性質得到AM=ND，再由等腰三角形三線合一即可得到結論；

（2）連接AC，取AC的中點P，連接PB，PD．證明點P滿足條件即可．

（1）∵△ABC與△ADE互為“頂補等腰三角形”，∴AB=AC=AD=AE，∠BAC+∠DAE=180°，∴∠B=∠C．

又∵AM⊥BC，AN⊥ED，∴∠BMA=∠DNA=90°，∠EAN=∠DAN，DE=2DN，∴∠BAC+2∠NAD=180°．

又∵∠BAC+2∠B=180°，∴∠B=∠NAD．

在△ABM和△DAN中，∵∠BMA=∠DNA=90°，∠B=∠NAD，AB=AD，∴△ABM≌△DAN（AAS），∴AM=DN．

∵AE=AD，AN⊥ED，∴ED=2ND，∴DE=2AM．

（2）存在．

如圖，連接AC，取AC的中點P，連接PB，PD．

∵AD=AB，CD=BC，AC=AC，∴△ADC≌△ABC，∴∠ABC=∠ADC=90°．

P是AC的中點，∴PB=PA=PC=AC，PD=PA=PC=AC，∴PA=PB=PC=PD．

又∵DC=BC，PC=PD，∴△PDC≌△PBC，∴∠DPC=∠BPC．

∵∠APD+∠DPC=180°，∠APD+∠BPC=180°，∴△APD與△BPC互為“頂補等腰三角形”．