Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，點D、E分別在邊AC、AB上，AD=DE=AB，連接DE．將△ADE繞點A逆時針方向旋轉，記旋轉角為θ．

（1）問題發現

①當θ=0°時，= ；

②當θ=180°時，= ．

（2）拓展探究

試判斷：當0°≤θ＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

（3）問題解決

①在旋轉過程中，BE的最大值為 ；

②當△ADE旋轉至B、D、E三點共線時，線段CD的長為 ．

Answer 1

【答案】（1）①；（2）詳見解析；（3）①2+2 +1或﹣1.

【解析】分析：（1）①先判斷出DE∥CB，進而得出比例式，代值即可得出結論；

②先得出DE∥BC，即可得出，，再用比例的性質即可得出結論；

（2）先∠CAD=∠BAE，進而判斷出△ADC∽△AEB即可得出結論；

（3）分點D在BE的延長線上和點D在BE上，先利用勾股定理求出BD，再借助（2）結論即可得出CD．

詳解：（1）①當θ=0°時，

在Rt△ABC中，AC=BC=2，

∴∠A=∠B=45°，AB=2，

∵AD=DE=AB=，

∴∠AED=∠A=45°，

∴∠ADE=90°，

∴DE∥CB，

∴，

∴，

∴，

故答案為：，

②當θ=180°時，如圖1，

∵DE∥BC，

∴，

∴，

即：，

∴，

故答案為：；

（2）當0°≤θ＜360°時，的大小沒有變化，

理由：∵∠CAB=∠DAE，

∴∠CAD=∠BAE，

∵，

∴△ADC∽△AEB，

∴；

（3）①當點E在BA的延長線時，BE最大，

在Rt△ADE中，AE=AD=2，

∴BE最大=AB+AE=2+2；

②如圖2，

當點E在BD上時，

∵∠ADE=90°，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，AB=2，AD=，根據勾股定理得，BD==，

∴BE=BD+DE=+，

由（2）知，，

∴CD=+1，

如圖3，

當點D在BE的延長線上時，

在Rt△ADB中，AD=，AB=2，根據勾股定理得，BD==，

∴BE=BD﹣DE=﹣，

由（2）知，，

∴CD=﹣1．

故答案為： +1或﹣1．