Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y= x+1與拋物線y=ax2+bx﹣3交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3．點P是直線AB下方的拋物線上一動點（不與A、B點重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PD⊥AB于點D．

（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）設點P的橫坐標為m；
①用含有m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；
②連接PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積之比為9：10？若存在，直接寫出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 x+1=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0）．

由 x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．

∵y=ax2+bx﹣3經過A、B兩點，

∴

∴ ，

則拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣3，

設直線AB與y軸交于點E，則E（0，1）．

∵PC∥y軸，

∴∠ACP=∠AEO．

∴sin∠ACP=sin∠AEO= = =

（2）

解：①由（1）知，拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣3．則點P（m， m2﹣ m﹣3）．

已知直線AB：y= x+1，則點C（m， m+1）．

∴PC= m+1﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+m+4=﹣ （m﹣1）2+

Rt△PCD中，PD=PCsin∠ACP=[﹣ （m﹣1）2+ ] =﹣ （m﹣1）2+

∴PD長的最大值為： ．

②如圖，分別過點D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分別為F、G．

∵sin∠ACP= ，

∴cos∠ACP= ，

又∵∠FDP=∠ACP

∴cos∠FDP= = ，

在Rt△PDF中，DF= PD=﹣ （m2﹣2m﹣8）．

又∵BG=4﹣m，

∴ = = = = ．

當 = = 時，解得m= ；

當 = = 時，解得m= ．

【解析】（1）已知直線AB的解析式，首先能確定A、B點的坐標，然后利用待定系數法確定a、b的值；若設直線AB與y軸的交點為E，E點坐標易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，則∠ACP的正弦值可得．（2）①已知P點橫坐標，根據直線AB、拋物線的解析式，求出C、P的坐標，由此得到線段PC的長；在Rt△PCD中，根據（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表達式，再根據所得函數的性質求出PD長的最大值．②在表達△PCD、△PBC的面積時，若都以PC為底，那么它們的面積比等于PC邊上的高的比．分別過B、D作PC的垂線，首先求出這兩條垂線段的表達式，然后根據題干給出的面積比例關系求出m的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．