Question

已知關于x的方程x²-2x-k-1=0
（1）若這個方程有一個根為-1，求方程的另一根和k的值；
（2）若以方程x²-2x-k-1=0的兩個實數根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數y=

m

x

的圖象上，求滿足條件的m的最大值．

Answer 1

分析：（1）將-1代入方程，求出k的值，代入k求出另一個根．
（2）用求根公式求出兩個根，根據m=xy，用k表示m，根據方程用兩個解，根據判別式求出k的取值范圍，從而求出m的最值．

解答：解：（1）將-1代入方程，整理得k-2=0，得 k=2．
方程為x²-2x-3=0，另一根為x=3；

（2）設方程x²-2x-k-1=0的兩個根為x₁，x₂，則x_1，2=

2± 4k+8

2

=1±

k+2

根據題意得m=x₁x₂=（1+

k+2

）•（1-

k+2

）=-1-k．
（或由一元二次方程根與系數的關系得x₁x₂=-k-1），…（2分）
∵方程x²-2x-k-1=0有兩個實數根，
∴△=（-2）²-4×（-k-1）≥0，
化簡得 4k+8≥0，
解得k≥-2．
∴-k≤2．
∴-1-k≤1
∴m=x₁x₂=-1-k≤1．
∴m的最大值為1．

點評：本題考查一元二次方程的應用和反比例函數的綜合題，關鍵熟記求根公式，判別式等知識點．