Question

【題目】如圖，在矩形紙片中，，，折疊紙片使點落在邊上的處，折痕為.過點作交于，連接.

（1）求證：四邊形為菱形；

（2）當點在邊上移動時，折痕的端點，也隨之移動.

①當點與點重合時（如圖），求菱形的邊長；

②若限定，分別在邊，上移動，求出點在邊上移動的最大距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①菱形BFEP的邊長為cm，②點E在邊AD上移動的最大距離為2cm.

【解析】

（1）由折疊的性質得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行線的性質得出∠BPF=∠EFP，證出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出結論；
（2）①由矩形的性質得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由對稱的性質得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD-DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=cm即可；
②找到E點離A最近和最遠的兩種情況即可求出點E在邊AD上移動的最大距離．當點Q與點C重合時，點E離點A最近，由①知，此時AE=1cm；當點P與點A重合時，點E離點A最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．

解：（1）∵折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，

∴點B與點E關于PQ對稱，

∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF.

又∵EF∥AB，

∴∠BPF=∠EFP，

∴∠EPF=∠EFP，

∴EP=EF，

∴BP=BF=FE=EP，

∴四邊形BFEP為菱形．

（2）①如圖1，　

圖1

∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC=AD=5cm，

CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°.

∵點B與點E關于PQ對稱，

∴CE=BC=5cm.

在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2，

即DE2=52－32，

∴DE=4cm，∴AE=AD－DE=5-4=1（cm）．

在Rt△APE中，AE=1，AP=3-PB=3-PE，

∴EP2=12＋（3－EP）2，解得EP=cm，

∴菱形BFEP的邊長為cm.

②當點Q與點C重合時，如圖1，點E離A點最近，由①知，此時AE=1cm.

當點P與點A重合時，如圖2，

圖2

點E離A點最遠，此時四邊形ABQE為正方形，

AE=AB=3cm，

∴點E在邊AD上移動的最大距離為2cm.