Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，連心線O₁O₂交⊙O₁于C、D兩點(diǎn)，直線CA交⊙O₂于點(diǎn)P，直線PD交⊙O₁于點(diǎn)Q，且CP∥QB，求證：AC=AP．

Answer 1

證明：連接AD，AB，
∵⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，
∴O₁O₂⊥AB，=，
∴∠C=∠Q，
∵CP∥QB，
∴∠Q=∠P，
∴∠P=∠C，
∴CD=PD，
∵CD是⊙O₁的直徑，
∴∠CAD=90°，
即DA⊥PC，
∴AC=AP．
分析：連接AD，AB，先根據(jù)相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦，得出O₁O₂⊥AB，由垂徑定理得出弧AD=弧BD，由圓周角定理得出∠ACD=∠BCD，則∠BQD=∠ACD；又CP∥QB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BQD=∠APD，則∠APD=∠ACD，由等腰三角形的判定即可證明出AC=AP．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相交兩圓的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定，等腰三角形的判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．