Question

【題目】已知二次函數y＝－x2＋（m＋1）x－m（m為常數）．

（1）求證：不論m為何值，該二次函數的圖像與x軸總有公共點；

（2）若該二次函數的圖像與x軸交于不同的兩點A、B，與y軸交于點C，且AB2＝2OC2（O為坐標原點），求m的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

根據拋物線與x軸有交點時y=0，得到b2－4ac≥0，即可得出答案；

當y=0時求出拋物線與x軸的交點橫坐標為m,1，求得AB的長，當x＝0時，y＝－m，求得 OC的長，再根據AB2＝2OC2即可求出m.

（1）當y＝0時，－x2＋（m＋1）x－m＝0．

∵a＝－1，b＝（m+1） ，c＝－m

∴b2－4ac＝（m+1）2－4×（－1）×（－m）＝（m－1）2≥0．

∴－x2＋（m+1）x－m＝0有實數解．

∴不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點．

（2）當y＝0時，－x2＋（m＋1）x－m＝0．

∴x2－（m＋1）x＋m＝0．

∴x1＝m ，x2＝1．

∴AB2＝（m－1） 2．

當x＝0時，y＝－m．

∴OC2＝（－m） 2．

∵AB2＝2OC2，∴（m－1） 2＝2 （－m） 2．

∴m1＝－1＋，m2＝－1－．

即m的值為－1＋或－1－．