Question

【題目】如圖，∠AOB＝20°，點M，N分別是邊OA，OB上的定點，點P，Q分別是邊OB、OA上的動點，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β，當MP+PQ+QN最小時，則β﹣α的值為_____．

Answer 1

【答案】40°．

【解析】

作M關于OB的對稱點M'，N關于OA的對稱點N'，連接M'N'交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM'=∠NPQ，∠OQP=∠AQN'=∠AQN，根據三角形的外角的性質和平角的定義即可得到結論．

如圖，作M關于OB的對稱點M'，N關于OA的對稱點N'，連接M'N'交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，

∴∠OPM=∠OPM'=∠NPQ，∠OQP=∠AQN'=∠AQN，

∴∠QPN（180°﹣α）=∠AOB+∠MQP=20°（180°﹣β），

∴180°﹣α=40°+（180°﹣β），

∴β﹣α=40°．

故答案為：40°．