Question

【題目】如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF于點F．

（1）求證：△ABC≌△ADE；

（2）已知BF的長為2，DE的長為6，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）10

【解析】

（1）由∠BAD＝∠CAE＝90°得出∠BAC＝∠DAE，即可得出△BAC≌△DAE（SAS）；

（2）由（1）可知∠BCA＝∠E＝45°，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，延長BF到G，使得FG＝FB，連接AG，證明△AFB≌△AFG（SAS），得出AB＝AG＝AD，∠ABF＝∠G＝∠CDA，證明△CGA≌△CDA（AAS），得出CD＝CG，進而得出答案．

（1）證明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°

∴∠BAC＝90°﹣∠CAD，∠DAE＝90°∠CAD，即∠BAC＝∠DAE

在△BAC和△DAE中，，

∴△BAC≌△DAE（SAS）；

（2）解：∵∠CAE＝90°，AE＝AC，

∴∠E＝45°，

由（1）可知：△ABC≌△ADE，

∴∠BCA＝∠E＝45°，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，

延長BF到G，使得FG＝FB，連接AG，如圖所示：

∵AF⊥CF，

∴∠AFG＝∠AFB＝90°，

在△AFB和△AFG中，，

∴△AFB≌△AFG（SAS），

∴AB＝AG＝AD，∠ABF＝∠G＝∠CDA

在△CGA和△CDA中，，

∴△CGA≌△CDA（AAS），

∴CD＝CG

∴CD＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF＝6+2×2＝10．