Question

如圖（1），已知拋物線y=ax²+b與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點M，點B的坐標為（4，0），點M的坐標為（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點N的坐標為（O，-3），作DN⊥y軸于點N，交拋物線于點D；直線y=-5垂直y軸于點C（0，-5）；作DF垂直直線y=-5于點F，作BE垂直直線y=-5于點E．
①求線段的長度：MC=

 

，MN=

 

；BE=

 

，BN=

 

；DF=

 

，DN=

 

；
②若P是這條拋物線上任意一點，猜想：該點到直線y=-5的距離PH與該點到N點的距離PN有怎樣的數量關系？
（3）如圖（2），將N點改為拋物線y=x²-4x+3對稱軸上的一點，直線y=-5改為直線y=m（m＜-1），已知對于拋物線y=x²-4x+3上的每一點，都有該點到直線y=m的距離等于該點到點N的距離，求m的值及點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）把B、M的坐標代入拋物線的解析式得出方程組，求出方程組的解即可；
（2）①根據點的坐標可求出MC、MN、BE、DF，由勾股定理求出BN，把y=-3代入拋物線的解析式求出DN；②由①可知：拋物線上每一點到直線y=-5的距離與該點到N點韻距離相等，即可得出答案；
（3）由y=x²-4x+3得出B點坐標為（3，0），頂點M坐標為（2，-1），作BE垂直直線y=m于點，推出BN-BE=-m，GN=2+m，根據BN²=GN²+BG²，求出m即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+b與x軸交于A、B兩點，點B的坐標為（4，0），與y軸交于點M，點M的坐標為（0，-4），
代入得：

0=16a+b -4=b

，
解得：a=

1

4

，b=-4，
∴y=

1

4

x²-4，
答：拋物線的解析式為y=

1

4

x²-4．

（2）①MC=5-4=1，MN=4-3=1，BE=|-5|=5，BN=

32+42

=5，DF=1+1=2，
y=-3代入拋物線的解析式得：-3=

1

4

x²-4，
∵x＞0，
∴x=2，
DN=2，
故答案為：1，1，5，5，2，2．

②由①可知：拋物線上每一點到直線y=-5的距離與該點到N點韻距離相等，
∴PH=PN，
答：點到直線y=-5的距離PH與該點到N點的距離PN的數量關系是PH=PN．

（3）由y=x²-4x+3得：
B點坐標為（3，0），頂點M坐標為（2，-1），
作BE垂直直線y=m于點E，
拋物線上每一點都有該點到直線y=m的距離等于該點到點N的距離，
∴BN-BE=-m，GN=2+m，
在Rt△BNG中，BN²=GN²+BG²，
解得m=-

5

4

，
GN=

3

4

，
∴m的值為-

5

4

，點N的坐標為（2，-

3

4

），
答：m的值為-

5

4

，點N的坐標為（2，-

3

4

）．

點評：本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，用待定系數法求出二次函數的解析式，解二元一次方程組，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．