Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，．點，分別在邊，上運動，并保持，，，垂足分別為，．四邊形面積的最大值是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

作梯形ABCD的高DG、CH，先通過梯形兩底的差和腰的長求出DG=4，再證明△MEA≌△NFB，得到AE=BF，設AE=x，則EF=7-2x，根據△MEA∽△DGA，求出，根據矩形的面積公式得出S矩形MEFN和x的關系式，化成頂點式即可求出答案．

如圖，分別過D，C兩點作DG⊥AB于點G，CH⊥AB于點H．

∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH．
∴四邊形DGHC為矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL），
∴

∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
∴DG=4．
∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴∠MEF=90°，
∴ME=NF，ME∥NF，
∴四邊形MEFN為矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF，
設AE=x，則EF=7-2x，
∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA，
∴
∴
S矩形MEFN=

當時，ME=

∴四邊形MEFN面積的最大值為.

故選:C．