Question

拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經過點A（-3

3

，0），B（

3

，0）與y軸交于點C，設拋物線的頂點為D，在△BCD中，邊CD的高為h．
（1）若c=ka，求系數k的值；
（2）當∠ACB=90°，求a及h的值；
（3）當∠ACB≥90°時，經過探究、猜想請你直接寫出h的取值范圍．
（不要求書寫探究、猜想的過程）

Answer 1

分析：（1）由于A、B是拋物線與x軸的兩個交點，可用交點式表示該拋物線的解析式，展開后即可得到c、a的關系式，進而可判斷出k的值．
（2）若∠ACB=90°，根據射影定理即可求得OC的長，從而得到C點的坐標，用待定系數法即可求得拋物線的解析式，進而可求得頂點D的坐標；過D作DE⊥y軸于E，過B作BF⊥CH于F，那么BF就是所求的h，延長DC交x軸于H，易證得△DCE∽△HCO，根據得到的比例線段，可求得OH的長，從而得到BH的值，易求得∠OHC的度數，在Rt△BFH中，通過解直角三角形即可求得BF的長即h的值．
（3）∠ACB≥90°時，h隨∠ACB度數的增大而減小，由此可確定h的取值范圍．

解答：解：（1）因為A（-3

3

，0），B（

3

，0）在拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）上，
所以有，y=a（x+3

3

）（x-

3

）=a（x2+2

3

x-9），
又因為c=-9a
所以k=-9．

（2）由于∠ACB=90°時，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°．
可得∠ACO=∠OBC．
∴△AOC∽△COB．
∴

AO

OC

=

OC

OB

，
即OC²=OA•OB=3

3

×

3

=9．
∴OC=3．
∵C（0-3），由（1）知-9a，
∴a=

1

3

．
過D作DE⊥OC交y軸于點E，延長DC交x軸于點H，過B作BF⊥CH于點F．
即BF是邊DC的高h．
因為D是拋物線的頂點，
所以D（-

3

，-4），
故OE=4，又OC=3，可得CE=1，DE=

3

．
易證△HCO∽△DCE，有

HO

DE

=

CO

EC

=

3

1

=3，
故OH=3DE=3

3

，BH=OH-OB=2

3

．
由于∠COH=90°，OC=3，OH=3

3

，由勾股定理知CH=6，有∠OHC=30°，
又因為在Rt△BHF中，BH=2

3

，
所以BF=

3

，即h=

3

．

（3）當∠ACB≥90°時，猜想0＜h≤

3

．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識的綜合應用；（2）題中，能夠根據已知條件正確的構造與所求相關的相似三角形，是解決問題的關鍵．